리만 가설 카드 마술을 읽고

일반인도 쉽게 이해할 수 있다고 해서 책을 샀는데,

제1장부터 막혀버렸다.

아주 간단한 내용인 것 같았는데 이해가 안됐다.

 

 

책에 나오는 문제는 아래와 같다.

책상 위에 똑같은 크기의 카드들이 위로 겹쳐 쌓여있다.
이때 맨 위의 카드를 바깥쪽으로 밀어내는 상황이다.
카드가 밑으로 떨어지지 않게 하면서 최대한 멀리 밀어내야 한다면,
얼마나 멀리 밀어낼 수 있을까?

이때 카드 길이는 모두 동일하고, 길이는 L이라고 하자. 

 

상황을 그림으로 표현하면 아래와 같다.

 

 

 

맨 위 첫번째 카드를 밀어낸다고 하면 L/2 만큼 밀어낼 수 있을 것이다.

카드의 무게 중심이 L/2에 있기 때문이다.

 

카드를 밀어보면 아래 그림처럼 될 것이다.

 

 

그럼 맨 위 첫번째 카드가 L/2만큼 밀려있는 상황이다.

다음 두 번째 카드는 어느정도까지 밀어낼 수 있을까? 

 

 

책은 이번에도 무게 중심으로 접근하여 문제를 해결한다.

첫번째와 두번째 카드의 무게 중심은 두번쨰 카드의 3L/4 지점이다.

따라서 L/4만큼 밀어낼 수 있을 것이다.

그림으로 표현하면 아래와 같다.

여기까진 직관적으로 이해할 수 있다.

 

그런데 세번째 카드부터 이해가 잘 되지 않았다.

세번째 카드는 어디까지 밀 수 있을까?

먼저 이 문제를 처음 접하시는 분들이 계실 수 있으니까 답을 조금 밑에 적어두겠다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

책에서는 '앞서 사용했던 논리를 그대로 적용하면 L/6이라는 답을 얻을 수 있다'고 적혀있다.

나는 '앞서 사용했던 논리를 적용하면' 무게 중심이 7L/8 위치에 있을 것이고,

정답이 L/8이라고 생각했는데 책 설명을 읽고 많이 당황했다.

쉽게 읽힐 줄 알았는데 벌써 막힌 것 같아, 내 자신에게 실망스러웠다.

 

하지만 그림을 그려보니까 왜 L/8이 아닌지 이해할 수 있었다.

만약 무게중심이 7L/8이라고 해보자.

그럼 아래와 같은 그림이 될 것이다.

 

 

위 그림에서 두 번째 카드를 보면, 7L/8 지점이 왜 무게 중심이 아닌지 직관적으로 이해할 수 있을 것이다.

 

 

7L/8이 답이 아니라는 것은 알았다.

그럼 왜 5L/6 지점이 정답일까?

 

방정식으로 풀면 쉽게 답을 구할 수 있을 것 같긴 한데,

좀 더 직관적으로 이해하고 싶어서 고민을 좀 해보았다.

 

아래와 같이 첫번째, 두번째, 세번째 카드를 따로 떼어 보자.

 

원래 세번째 카드가 없었을 땐, 첫번째와 두번째 카드만 있을 땐 세로 점선을 기준으로 완벽히 대칭이었다.

그런데 이제는 세번째 카드까지 생각해야 하는 것이다.

 

이 상황을 저울에 빗대어 생각해보자. 세로 점선이 저울의 중심이라고 하자.

위 그림과 같이 첫번째와 두번째 카드만 있었다면, 저울이 평형을 이루었을 것이다.

 

이때 저울 왼쪽 편에 세번째 카드를 두었다.

저울이 왼쪽으로 기울 것이다.

그럼 어떻게 해야 저울이 다시 평형을 이룰까?

 

 

바로 왼쪽에 새롭게 둔 세번째 카드를 반으로 나눠서 오른쪽으로 보내면 저울이 평형을 이룰 것이다.

즉, 세번째 카드의 절반(L/2)만큼을 세로 점선의 오른쪽으로 보내야하는 것이다.

 

그러나 문제가 있다. 세번째 카드만 보낼 수 없다.

세번째 카드를 움직이면, 첫번째와 두번째 카드도 같이 움직인다.

즉, 세 카드가 동시에 움직인다.

 

따라서 L/2만큼 오른쪽으로 보내야 하는데, 카드 3개를 동시에 움직이므로

전체 카드는 L/6만큼 움직여도, 무게는 L/6 x 3 = L/2 만큼 오른쪽으로 가게 된다.

 

이렇게 이해하면, 네 번째 카드도 얼마만큼 움직여야 하는지 이해하기 쉽다.

L/2만큼 오른쪽으로 보내야하는데 카드 4개를 움직여야 하므로 

전체 카드는 L/8만큼 움직이면 된다.

 

 

 

 

 

 

 

나는 왜 헷갈렸을까.

아무래도 책 설명에 '길이'라는 표현이 나와서 그런 것 같다.

길이로 접근하면, 7L/8 지점이 절반이 맞다.

 

위와 같이, 첫번째, 두번째, 세번째 카드를 겹쳐놓으면 전체 길이가 L+L/2+L/4 = 7L/4가 된다.

7L/4 를 절반해서 7L/8이라고 생각했던 것이다. 

 

 

아직 1장인데 갈 길이 참 멀다.

그래도 천천히 읽어봐야겠다.

 

 

* 혹시 제 설명에 오류가 있다거나, 다른 접근 방법이 있다면 언제든 댓글 달아주시기 바랍니다.